有限数学示例

$f (n) = 2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4$ , $h (t) = \frac{t + 4}{t - 2}$ , $((h \circ f)) (0)$

解题步骤 1

建立复合结果函数。

$h (f (n))$

解题步骤 2

通过将 $f$ 的值代入 $h$ 来计算 $h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4)$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

解题步骤 3

约去 $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4$ 和 $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从 $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

解题步骤 3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

解题步骤 3.3

从 $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

解题步骤 3.4

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

解题步骤 3.5

从 $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

解题步骤 3.6

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 - 2}$

解题步骤 3.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) - 2}$

解题步骤 3.6.3

从 $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) - 2}$

解题步骤 3.6.4

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)}$

解题步骤 3.6.5

从 $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

解题步骤 3.6.6

约去公因数。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

解题步骤 3.6.7

重写表达式。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

解题步骤 4.4

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4 \cdot \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

解题步骤 4.5

组合 $4$ 和 $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

解题步骤 5.2

一的任意次幂都为一。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

解题步骤 5.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 1}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1 + 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

解题步骤 7

约去 $3^{n - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = (1 + 4 \cdot 3^{n - 1}) (\frac{1}{1 + 3^{n - 1}})$

解题步骤 8

将 $1 + 4 \cdot 3^{n - 1}$ 乘以 $\frac{1}{1 + 3^{n - 1}}$ 。

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

解题步骤 9

将函数中的 $n$ 替换为 $0$ 来计算最终的函数。

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{(0) - 1}}{1 + 3^{(0) - 1}}$

解题步骤 10

化简评价函数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{- 1}}{1 + 3^{0 - 1}}$

解题步骤 10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1 + 4 \cdot \frac{1}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

解题步骤 10.1.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1 + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

解题步骤 10.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

解题步骤 10.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 + 4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

解题步骤 10.1.6

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{- 1}}$

解题步骤 10.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$

解题步骤 10.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

解题步骤 10.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}$

解题步骤 10.2.5

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 10.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 10.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 10.4.2

重写表达式。

$7 (\frac{1}{4})$

解题步骤 10.5

组合 $7$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{7}{4}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{4}$

小数形式：

$1.75$

带分数形式：

$1 \frac{3}{4}$

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